Mocninné funkcie

V nasledujúcich príkladoch budeme vyšetrovať priebeh mocninných funkcií a kresliť ich grafy. Sú to funkcie definované predpisom $$y = x^a,$$ kde $a$ je pevne zvolené reálne číslo. Tu nás zaujímajú hlavne odmocniny, čo sú mocninné funkcie definované predpisom $$y = x^{\frac{1}{n}} \equiv \sqrt[n]{x},$$ kde $n > 1$ je prirodzené číslo. Všimnime si, že platí $$y = \sqrt[n]{x} \leftrightarrow x = y^n.$$

Pri vyšetrovani priebehu každej takejto funkcie nás tu zaujímajú predovšetkým tieto informácie:

  • obor definície funkcie;
  • intervaly, na ktorých je funkcia monotónna;
  • asymptoty grafu funkcie;
  • globálne a lokálne extrémy funkcie;
  • nulové body funkcie.
In [1]:
import numpy as np
%matplotlib inline
import matplotlib.pyplot as plt
from maux import *

Príklad

Vyšetrenie priebehu a nakreslenie grafu funkcie $$y = \sqrt{x}.$$ Zostrojenie dotyčnice grafu funkcie v bode $x = 1$.

In [2]:
#### vstupné údaje
def f(X): return X ** 0.5
X = np.linspace(0, 9, 9*20+1)
Y = f(X)

#### obrázok s dvoma diagramami
fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(nrows=1, ncols=2, sharex=True, sharey=True)
fig.set_size_inches(18, 6)

### 1. diagram
init_subplot(ax1)
ax1.set_title(r"Graf funkcie $y = \sqrt{x}$")

## graf funkcie
ax1.plot(X, Y)

### 2. diagram
init_subplot(ax2)
ax2.set_title("Priebeh funkcie")

## intervaly, na ktorých je funkcia monotónna
ax2.plot(X, Y, label="rastúca")

## nulové body
ax2.plot(0, 0, 'ko', label="nulový bod")

## dotyčnica
T = X/2 + 1/2
XT = ax2.plot(X, T, label="dotyčnica")
ax2.plot(1, 1, 'o', c=XT[0].get_color())

## zvyšné nastavenia 2. diagramu
ax2.legend(loc='right')
ax2.grid()

### spoločné nastavenie pre oba diagramy
plt.ylim(-0.3, Y.max() * 1.1)

### archivácia obrázka
#plt.savefig("ex03_1_1.png")

### samotné zobrazenie
plt.show()
plt.close('all')

Úloha

Nakreslite do jedného obrázka grafy týchto funkcií $y = x^2$ a $y = \sqrt{x}$.

Návod. Použite rovnakú mierku:

>>> fig.set_size_inches(4, 4)
>>> ax.axis('equal')

Úloha

Nakreslite do jedného obrázka grafy $n$-tých odmocnín $$y = \sqrt[n]{x}$$ pre $n = 2, 3, 4, 5, 6$.

Príklad

To isté ako v predchadzajúcom príklade, len vykreslenie sa deje pomocou interaktívnych prvkov knižnice ipywidgets.

Dokumentácia:

In [3]:
#### vstupné údaje
def f(X, n): return X ** (1/n)
X = np.linspace(0, 4, 4*100+1)

#### obrázok s grafom n-tej odmocniny
def plot_nth_root(n):
    fig, ax = plt.subplots()
    init_subplot(ax)
    ax.set_title(r"Graf funkcie $y = \sqrt[{0}]{{x}}$".format(n))
    ax.plot(X, f(X, n))
    ax.grid()
    plt.ylim(0, 2)
    plt.show()
    plt.close('all')

#### interaktívne vykreslenie obrázka
import ipywidgets as widgets
widgets.interact(plot_nth_root, n=widgets.IntSlider(min=2,max=6,step=1,value=2));

Úloha

Vyšetrite priebeh a nakreslite graf funkcie $$y = \sqrt{x-1}.$$ Zostrojte dotyčnicu grafu funkcie v bode $x = 2$.

Úloha

Vyšetrite priebeh a nakreslite graf funkcie $$y = -\sqrt{-x - 2}.$$ Zostrojte dotyčnicu grafu funkcie v bode $x = -4$.

Úloha

Vyšetrite priebeh a nakreslite graf funkcie $$y = 3 - 0.5 \sqrt[3]{3x-2}.$$ Zostrojte dotyčnicu grafu funkcie v bode $x = 1$.

Úloha

Vyšetrite priebeh a nakreslite graf funkcie $$y = \sqrt{x+1} - \sqrt{x-1}.$$ Zostrojte dotyčnicu grafu funkcie v bode $x = 2$.

Úloha (5 bodov)

Vyšetrite priebeh a nakreslite graf funkcie $$y = \sqrt{x^2+x+1} + \sqrt{x^2-x+1}.$$ Zostrojte dotyčnicu grafu funkcie v bode $x = -1$.

Úloha

Vyšetrite priebeh a nakreslite graf funkcie $$y = \frac{x-2}{x^2+1}.$$ Zostrojte dotyčnicu grafu funkcie v bode $x = 2$.